Объем четырехугольной пирамиды

Четырехугольной пирамидой называется многогранник, в основании которого лежит квадрат, а все боковые грани являются одинаковыми равнобедренными треугольниками.
 четырехугольная пирамида
У данного многогранника есть множество различных свойств:

  • Его боковые ребра и прилегающие к ним двугранные углы равны между собой;
  • Площади боковых граней одинаковы;
  • В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат;
  • Высота, опущенная из вершины пирамиды, пересекается с точкой пересечения диагоналей основания.

Все эти свойства помогают легко находить площадь четырехугольной пирамиды. Однако довольно часто помимо нее требуется рассчитать объем многогранника. Для этого применяется формула объема четырехугольной пирамиды:

V={1/3} ha^2

То есть объем пирамиды равен одной третьей произведения высоты пирамиды на площадь основания. Так как площадь квадрата равна произведению его равных сторон, то мы сразу вписываем в выражение объема формулу площади квадрата.
Рассмотрим пример расчета объема четырехугольной пирамиды.

Иконка карандаша 24x24Пусть дана четырехугольная пирамида, в основании которой лежит квадрат со стороной a = 6 см. Боковая грань пирамиды равна b = 8 см. Найдите объем пирамиды.
 четырехугольная пирамида
Чтобы найти объем заданного многогранника, нам потребуется длина его высоты. Поэтому мы найдем ее, применив теорему Пифагора. Для начала рассчитаем длину диагонали. В синем треугольнике она будет гипотенузой. Стоит также помнить, что диагонали квадрата равны между собой и в точке пересечения делятся пополам:
d=sqrt{a^2+a^2}=sqrt{2a^2}
d=sqrt{2*36}=sqrt{72}=8,5 cm
Теперь из красного треугольника найдем необходимую нам высоту h. Она будет равна:
h=sqrt{b^2-{d/2}^2}
Подставим необходимые значения и найдем высоту пирамиды:
h=sqrt{8^2-{4,25}^2}=sqrt{64-18}=sqrt{46}=6,8 cm
Теперь, зная высоту, можем подставлять все значения в формулу объема пирамиды и рассчитывать необходимую величину:
V={1/3}*{6,8}*6^2={1/3}*{6,8}*36={6,8}*12=81,6{cm}^3

Вот таким образом, зная несколько простых формул, мы смогли рассчитать объем правильной четырехугольной пирамиды. Не забывайте, что данная величина измеряется в кубических единицах.

Похожие записи
Поделиться
Другие статьи по теме