Объема усеченного конуса - формула, пример расчета

При нахождении объема усеченного конуса целесообразней рассматривать разность объема полного конуса и объема отсеченного конуса.

Дополним данный усеченный конус до полного . Пусть его высота будет x . Если высота усеченного конуса – h , то высота отсеченного конуса будет – x-h .
Высота усеченного конуса будет равна разности объема полного конуса с радиусом R1и высотой x и объема полного конуса с радиусом R2. и высотой x-h.
Из подобия этих конусов получаем:
$x/{x-h}=R_1/R_2$
Выразим x:

$x={hR_1}/{R_1-R_2}$
Тогда объем усеченного конуса можно выразить:
$V={1/3}{pi}{x}{R_1}^2-{1/3}{pi}(x-h){R_2}^2 = {1/3}{pi}({hR_1}/{R_1-R_2} {R_1}^2-{hR_1}/{R_1-R_2}{R_2}^2+h{R_2}^2) =$
$={1/3}{pi} {h{R_1}^3-hR_1{R_2}^2+h{R_2}^2R_1-h{R_2}^3}/{R_1-R_2} ={1/3}{pi}h {{R_1}^3-{R_2}^3}/{R_1-R_2 }$
Применив формулу разницы кубов, имеем:
$V=1/3 {pi}h {{{R_1}^3-{R_2}^3}/{R_1-R_2}}=1/3 {pi}h {{(R_1-R_2 )({R_1}^2+R_1 R_2+{R_2}^2)}/{R_1-R_2}}=$
$=1/3 {pi}h({R_1}^2+R_1 R_2+{R_2}^2)$
Таким образом, формула объема усеченной пирамиды имеет вид:

$V=1/3 {pi}h({R_1}^2+R_1 R_2+{R_2}^2)$

Пример расчета объема усеченного конуса
Радиусы основания усеченного конуса равны 11 и 27 , образующая относится к высоте как 17:15 . Найдите объем усеченного конуса.
Объем усеченного конуса вычисляется по формуле:
$V=1/3 {pi}h({R_1}^2+R_1 R_2+{R_2}^2)$
Для того, чтобы воспользоваться данной формулой необходимо найти высоту конуса. Образующая конуса, его высота и разница радиусов оснований образуют прямоугольный треугольник. Воспользовавшись теоремой Пифагора получаем: $L^2=H^2+{(R_1-R_2)}^2$
Так как образующая относится к высоте как 17:15, то L=17x, H=15x.
Тогда: $289x^2=225x^2+{(27-11)}^2$