Площадь сектора кольца - формула, пример расчета

Сектор кругового кольца – это плоская фигура, которая представляет собой часть плоскости между дугами двух окружностей с общим центром и разным радиусами, ограниченных двумя радиальными линиями, которые проведены к концам дуги с большим радиусом.

Формула площади сектора кольца, выраженная через внешний и внутренний радиусы

Пусть дана окружность радиуса R и окружности радиуса r. Причем R>r. Совместим центры этих окружностей. Возьмем на окружности с большим радиусом две произвольные точки. Проведем к ним радиусы, которые образуют угол α. Эти радиусы отсекут от окружностей некоторые дуги. Фигура, заключенная между этими дугами окружностей и радиусами, проведенными к концам этих дуг, и будет сектор кольца, у которого R является внешним радиусом, r -внутренним радиусом.
Тогда площадь этой фигуры будет равна разницы между площадью сектора круга с большим радиусом и площадью сектора круга с меньшим радиусом.
Площадь сектора круга с радиусом r выражается формулой:

где l–длина дуги равная ${{pi}/{180}^o }{alpha}$
Подставим выражение длины дуги в формулу площади сектора. Получим:
$S={1/2}* r {{{pi}r}/{180}^o} {alpha}={{{pi}r^2}/{360}^o }{alpha}$
Площадь круга с радиусом R выражается формулой:
где L–длина дуги равная ${{pi}/{180}^o }{alpha}$
Подставим выражение длины дуги в формулу площади сектора. Получим:
$S={1/2}r {{{pi}R}/{180}^o} {alpha}={{{pi}R^2}/{360}^o}{alpha}$
Тогда площадь кольца будет равна:
$S={{{pi}r^2}/{360}^o} {alpha}-{{{pi}R^2}/{360}^o} {alpha}={{pi}(R^2-r^2)}/{360}^o {alpha}$
Таким образом, площадь сектора кольца равна произведению площади единичного сектора кольца, то есть сектору, соответствующему центральному углу с мерой равной единице на меру центрального угла, соответствующего данному сектору.
Формула имеет вид: $S={{{pi}(R^2-r^2)}/{360}^o}{alpha}$

Пример расчета площади сектора кольца, если известны его радиусы.
Найдите площадь сектора кольца, образованного углом 30° , если его внешний радиус равен 14, а внутренний – 8.
Площадь кольца вычисляется по формуле:
$S={{{pi}(R^2-r^2)}/{360}^o }{alpha}$
Подставив значения из условия задачи, имеем:
$S={{{pi}({14}^2-8^2)}/{360}^o} *{30}^o={{{pi}(196-64)}/{360}^o} *{30}^o={{{pi}141}/{360}^o} *{30}^o=11,75{pi}$