Объем усеченной пирамиды - формула, пример расчета

Пирамидой называют многогранник, у которого основание представлено произвольным многоугольником, а остальные грани – треугольниками с общей вершиной, которая соответствует вершине пирамиды.
Если в пирамиде провести параллельное основанию сечение, то оно разделить фигуру на две части. Пространство межу нижним основанием и сечением, ограниченное гранями, называется усеченной пирамидой.

Формула объема усеченной пирамиды представляет собой одну треть произведения высоты на сумму площадей верхнего и нижнего основания с их средним пропорциональным:

$V={1/3}h(S_1+sqrt{S_1 S_2}+S_2)$

Рассмотрим пример расчета объема усеченной пирамиды.

Задача: Дана треугольная усеченная пирамида. Ее высота h = 10 см, стороны одного из оснований равны a = 27 см, b = 29 см, c = 52 см. Периметр второго основания равняется P2=72 см. Найдите объем пирамиды.

Для расчета объема нам потребуется площадь оснований. Зная длины сторон одного треугольника, мы можем рассчитать площадь по формуле Герона>. Для этого потребуется найти полупериметр:

$P_1={108}/2=54 cm$
Теперь найдем S2:
$S_1=sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$
$S_1=sqrt{54(54-27)(54-29)(54-52)}=sqrt{54*27*25*2}=sqrt{72900}=270{cm}^2$
Зная, что пирамида усеченная, делаем вывод, что треугольники, лежащие в основаниях подобны. Коэффициент подобия этих треугольников можно найти из соотношения периметров. Отношение площадей треугольников будет равно квадрату этого коэффициента:
${S_1}/{S_2} ={{P_1}^2}/{{P_2}^2}={{108}^2}/{{72}^2}=9/4$
$S_2={4S_1}/9$
$S_2={4*270}/9=120{cm}^2$
Теперь, когда мы нашли площади оснований усеченной пирамиды, можем легко рассчитать ее объем:
$V={1/3}*10*(270+sqrt{270*120}+120)={10}/3 {(270+180+120)}={{10}/3}*570=1900{cm}^3$

Таким образом, вычислив коэффициент подобия и рассчитав площадь оснований, мы нашли объем заданной усеченной пирамиды.