Объем конуса - формула, пример расчета

Чтобы найти объем конуса необходимо произвести дополнительные построения.

Построим вписанную в конус правильную n-угольную пирамиду и опишем вокруг данного конуса правильную n-угольную пирамиду.
Вписанная пирамида содержится в конусе. Из этого следует, что ее объем не больше объема конуса.
Описанная пирамида содержит конус, а это значит, что ее объем не меньше объема конуса.

Впишем в основание вписанной пирамиды окружность.
Если радиус вписанного правильного n-угольника равен R, то радиус вписанной в него окружности будет равен:
$R_vpokr=R*cos{{pi}/n}$

Объем вписанной пирамиды вычисляется по формуле:

где S – основание пирамиды.
Площадь данного круга вычисляется по формуле: $S={pi}*(R{cos{{pi}/n}})^2={pi}R^2{cos^2{{pi}/n}}$
Площадь основания вписанной пирамиды не меньше площади круга, содержащегося в ней
Поэтому утверждение, что объем вписанной в конус пирамиды не меньше ${1/3}{pi}R^2H{cos^2{{pi}/n}}$ верно.
А следовательно, мы может утверждать, что объем конуса, содержащий эту пирамиду будет больше или равен ${1/3}{pi}R^2H{cos^2{{pi}/n}}$
V≥ ${1/3}{pi}R^2Hcos^2{{pi}/n}$

Теперь опишем окружность вокруг основания описанной вокруг конуса пирамиды.
Радиус этой окружности будет равен: $R_{op.okr}= R/ {cos { {pi}/n}}$

Площадь данного круга вычисляется по формуле: $S={pi}(R/{cos{{pi}/n}})^2$
Основание описанной пирамиды содержится в круге описанном вокруг него. Поэтому площадь основания пирамиды не больше ${pi}{{R^2}/{cos^2{{pi}/n}}}$
Поэтому утверждение,что объем описанной пирамиды не больше ${1/3}*{{{pi}HR^2}/{cos^2{{pi}/n}}}$ верно.
А следовательно, мы может утверждать, что объем конуса, содержащий в эту пирамиду будет меньше или равен ${1/3}{{{pi}HR^2}/{cos^2{{pi}/n}}}$
$V<={1/3}{pi}HR^2$
Два полученных неравенства равны при любом n. Если то
Тогда из первого неравенства следует, что V≥ ${1/3}{pi}HR^2$
Из второго неравенства $V<={1/3}{pi}HR^2$

Отсюда следует, что

$V={1/3}{pi}HR^2$

Объем конуса равен одной трети произведения радиуса на высоту.

Пример расчета объема конуса
Найти объем конуса, если его радиус основания равен 3 см, а образующая 5 см.
Объем конуса вычисляется по формуле:
$V={1/3}{pi}HR^2$
Для того, чтобы воспользоваться данной формулой необходимо найти высоту конуса. Образующая конуса, его высота и радиус основания образуют прямоугольный треугольник. Воспользовавшись теоремой Пифагора имеем:

Отсюда:
$H=sqrt{L^2-R^2}=sqrt{5^2-3^2}=sqrt{16}=4$
Подставим значение радиуса и высоты в формулу объема конуса.
Имеем:
$V={1/3}{pi}4*3^2=12{pi}$