Площадь поверхности усеченного конуса

Усеченный конус – это часть конуса, ограниченная между двумя параллельными основаниями перпендикулярными его оси симметрии.Основаниями конуса являются геометрические круги.

Усеченный конус может быть получен в результате вращения прямоугольной трапеции вокруг ее боковой стороны, которая является ее высотой. Границей конуса является круг радиуса R, круг радиуса r и боковая поверхность конуса. Боковую поверхность конуса описывает боковая сторона трапеции во время ее вращения.

Площадь боковой поверхности усеченного конуса через направляющую и радиусы его оснований

При нахождении площади боковую поверхность усеченного конуса целесообразней рассматривать как разность боковой поверхности конуса и боковой поверхности отсеченного конуса.

Пусть от данного конуса AMB отсекли конус A`MB`. Необходимо вычислить боковую площадь усеченного конуса AA`B`B. Известно, что радиусы его оснований AO=R, A`O`=r, образующая равна L.Обозначим MB` за x. Тогда боковая поверхность конуса A`MB` будет равна πrx. А боковая поверхность конуса AMB будет равна πR(L+x).
Тогда боковую поверхность усеченного конуса AA`B`B можно выразить через разность боковой поверхности конуса AMB и конуса A`MB`:
$S_bok={pi}R(L+x)-{pi}rx={pi}(RL+Rx-rx)={pi}(RL+x(R-r))$
Треугольники OMB и O`MB`– подобны по равенству углов ∠{MOB} = ∠{MO`B`} и ∠{OMB} = ∠{O`MB`}. Из подобия этих треугольников следует:
Воспользуемся производной пропорции. Имеем:
Отсюда находим x:
Подставив это выражение в формулу площади боковой поверхности, имеем: $S_bok={pi}(RL+{{rL}/{R-r}} (R-r) )={pi}(RL+rL)={pi}L(R+r)$
Таким образом, площадь боковой поверхности усеченного конуса равна произведению числа π на его направляющую и сумму радиусов его оснований.
Формула площади боковой поверхности усеченного конуса имеет следующий вид: $S_bok={pi}L(R+r)$

Пример расчета площади боковой поверхности усеченного конуса, если известны его радиус и образующая
Радиус большего основания, образующая и высота усеченного конуса равны 7, 5 и 4 см соответственно. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
Осевое сечение усеченного конуса представляет собой равнобедренную трапецию, с основаниями 2R и 2r. Образующая усеченного конуса, являющаяся боковой стороной трапеции, высота, опушенная на большое основание и разность радиусов основания усеченного конуса, образуют египетский треугольник. Это прямоугольный треугольник с соотношением сторон 3:4:5. По условию задачи образующая равна 5, а высота – 4, тогда разность радиусов основания усеченного конуса будет равна 3.
Имеем:
L=5
R=7
R=4
Формула площади боковой поверхности усеченного конуса имеет следующий вид:
$S_bok={pi}L(R+r)$
Подставив значения, имеем:
$S_bok=5{pi}(7+4)=27{pi}$

Площади боковой поверхности усеченного конуса через направляющую и средний радиус

Средний радиус усеченного конуса равен половине суммы радиусов его оснований:
$R_sr={R+r}/2$

Тогда формула площади боковой поверхности усеченного конуса может быть представлена следующим образом:
$S_bok=2{pi}LR_sr$
Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна произведению длины окружности среднего сечения на его образующую.

Площади боковой поверхности усеченного конуса через радиусы его основания и угол наклона образующей к плоскости основания

Если меньшее основание ортогонально спроектировать на большее основание, то тогда проекция боковой поверхности усеченного конуса будет иметь вид кольца, площадь которого вычисляется по формуле:
$S={pi}(R^2-r^2)={pi}(R-r)(R+r)$
Тогда: $S_bok={{pi}(R-r)(R+r)}/{cos{alpha}}$

Площади боковой поверхности усеченного конуса по Архимеду

$S_bok={pi}(sqrt{L(R+r)})^2$
Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна площади такого круга, радиус которого является средней пропорциональной между образующей и суммой радиусов его оснований

Полная поверхность усеченного конуса

Полная поверхность конуса – это сумма площади его боковой поверхности и площади оснований конуса:

$S_poln=S_bok+S_{b.osn}+S_{m.osn}$

Основаниями конуса является круги с радиусом R и r. Их площадь равна произведению числа на квадрат их радиуса:
$S_{b.osn}={pi}R^2$
$S_{m.osn}={pi}r^2$
Площадь боковой поверхности вычисляется по формуле:
$S_bok={pi}L(R+r)$
Тогда площадь полной поверхности усеченного конуса равна:
$S_poln={pi}L(R+r)+{pi}R^2+{pi}r^2={pi}(R^2+(R+r)L+r^2)$
Формула имеет следующий вид:
$S_poln={pi}(R^2+(R+r)L+r^2)$

Пример расчета площади полной поверхности усеченного конуса, если известны его радиус и образующая
Радиус основания усеченного конуса 1 и 7 дм, а диагонали осевого сечения взаимно перпендикулярны. Найдите площадь полную площадь усеченного конуса
Осевое сечение усеченного конуса представляет собой равнобедренную трапецию, с основаниями 2R и 2r. То есть основания трапеции равны 2 и 14 дм соответственно. Так как диагонали трапеции взаимно перпендикулярны, то высота равна полусумме ее оснований. Тогда:

Образующая усеченного конуса, являющаяся боковой стороной трапеции, высота, опушенная на большое основание и разность радиусов основания усеченного конуса, образуют прямоугольный треугольник.
По теореме Пифагора найдем образующую усеченного конуса:
$L=sqrt{h^2+(R-r)^2}=sqrt{8^2+(7-1)^2}=sqrt{64+36}=sqrt{100}=10$
Формула площади полной поверхности усеченного конуса имеет следующий вид:
$S_poln={pi}(R^2+(R+r)L+r^2)$
Подставив значения из условия задачи и найденные значения, имеем:
$S_poln={pi}(7^2+(7+1)10+1^2)={pi}(49+80+1)=130{pi}$