Площадь кольца - формула, пример расчета

Кольцо – это плоская геометрическая фигура, которая представляет собой часть плоскости между двумя окружностями с общим центром, но имеющими разный радиус.

Площадь кольца, выраженная через внешний и внутренний радиусы

Пусть дана окружность радиуса R и окружности радиуса r. Причем R>r. Совместим центры этих окружностей. Фигура, заключенная между этими окружностями и будет кольцо, у которого R является внешним радиусом, r -внутренним радиусом.
Тогда площадь этой фигуры будет равна разницы между площадью круга с большим радиусом и площадью круга с меньшим радиусом.

Площадь круга с радиусом r выражается формулой:
$S={pi}r^2$
Площадь круга с радиусом R выражается формулой:
$S={pi}R^2$
Тогда площадь кольца будет равна:

$S={pi}R^2-{pi}r^2={pi}(R^2-r^2)$

Таким образом, площадь кольца равна произведению числа на разницу квадратов внешнего и внутреннего радиусов: $S={pi}(R^2-r^2)$

Пример расчета площади кольца, если известны его радиусы.
Найдите площадь кольца, если его внешний радиус равен 3, а внутренний – 2
Площадь кольца вычисляется по формуле:
$S={pi}(R^2-r^2)$
Подставив значения из условия задачи, имеем:
$S={pi}(3^2-2^2)=5{pi}$

Площадь кольца, выраженная через внешний и внутренний диаметры

Иногда при решении задач удобней использовать формулу площади кольца, выраженную через внутренний и внешний диаметры.

Пусть D – внешний диаметр кольца, d -внутренний диаметр кольца, тогда:

Выразим радиус через диаметр. Имеем:

Площадь кольца вычисляется по формуле:
$S={pi}(R^2-r^2)$
Подставив выраженные через диаметр радиусы, получим:
$S={pi}(({1/2}D)^2-({1/2}d)^2 )={pi} {1/4}(D^2-d^2)$
Таким образом, площадь кольца равна четверти произведения числа на разницу квадратов внешнего и внутреннего диаметров:
$S={{pi}/4}(D^2-d^2)$

Пример расчета площади кольца, если известны его диаметры.
Найдите площадь кольца, если его внешний диаметр равен 10, а внутренний – 6
Площадь кольца вычисляется по формуле:
$S={{pi}/4}(D^2-d^2)$
Подставив значения из условия задачи, имеем:
$S={{pi}/4 }{({10}^2-6^2)}=16{pi}$

Площади кольца, выраженная через средний радиус и ширину кольца

Пусть k– ширина кольца, являющийся разницей между большим и меньшим радиусом, то есть k=R-r-средний радиус кольца, равный

Площадь кольца вычисляется по формуле:
$S={pi}(R^2-r^2)$
Применив формулу разности квадратов, имеем:
$S={pi}(R^2-r^2 )={pi}(R-r)(R+r)$
Но R-r=k, а
Подставим правые части равенства в формулу площади кольца.
Получим:

Площадь кольца равна удвоенному произведению числа среднего радиуса на ширину кольца.

Пример расчета площади кольца, если известны его средний радиус и ширина.
Найдите площадь кольца, если его средний радиус равен 5, а ширина – 2

Площадь кольца вычисляется по формуле:

Подставив значения из условия задачи, имеем:

Площади кольца через длину самого большого отрезка, проведенного внутри кольца

Пусть AB –самый большой отрезок, лежащий внутри кольца. Точка С – половина этого отрезка. Этот отрезок будет являться касательной к кругу меньшего радиуса. Касательная перпендикулярна радиусу меньшей окружности, проведенного в точку каcания C. Тогда
Следовательно, треугольник ACO –прямоугольный, где

По теореме Пифагора имеем:
${AO}^2={AC}^2+{CO}^2$
$R^2=({1/2} AB)^2+r^2$
$R^2-r^2=({1/2} AB)^2$
Площадь кольца равна:
$S={pi}(R^2-r^2)$
Подставив, получим:
$S={pi}({1/2} AB)^2$
Следовательно, площадь кольца равна произведению числа на квадрат половины самого большого отрезка кольца.