Площадь треугольника через синус и косинус - формулы, примеры расчетов, калькуляторы

I. Площадь треугольника через синус

Если в задаче даны длины двух сторон треугольника и угол между ними, то можно применить формулу площади треугольника через синус.

Пример расчета площади треугольника через синус. Даны стороны a = 3, b = 4, и угол γ= 30°. По таблице синусов синус угла в 30° равен 0.5

Площадь треугольника будет равна 3 кв. см.

Калькулятор нахождения площади треугольника через синус
Сторона a=	Сторона b=	Угол γ °
Ответ: Площадь треугольника = 3.000

Также могут быть и другие условия. Если дана длина одной стороны и углы, то для начала нужно вычислить недостающий угол. Т.к. сумма всех углов треугольника равняется 180°, то:

$alpha={180^circ}-(beta+gamma)$
$beta={180^circ}-(alpha+gamma)$
$gamma={180^circ}-(alpha+beta)$

Площадь будет равна половине квадрата стороны, умноженной на дробь. В ее числителе находится произведение синусов прилегающих углов, а в знаменателе синус противолежащего угла. Теперь рассчитываем площадь по следующим формулам:

$S= {1/2} * {a^2} * {{ sin{beta} * sin{gamma} } / { sin{alpha} }}$
$S= {1/2} * {b^2} * {{ sin{alpha} * sin{gamma} } / { sin{beta} }}$
$S= {1/2} * {c^2} * {{ sin{alpha} * sin{beta} } / { sin{gamma} }}$

Например, дан треугольник со стороной a=3 и углами γ=60°, β=60°. Вычисляем третий угол: $alpha={180^circ}-({60^circ}+{60^circ})$
Подставляем данные в формулу $S= {1/2} * {3^2} * {{ sin{60^circ} * sin{60^circ} } / { sin{60^circ} }}={1/2} * 9 * {{ 0.86 * 0.86 } / { 0.86 }}=3.87$
Получаем, что площадь треугольника равняется 3,87 кв. см.

II. Площадь треугольника через косинус

Чтобы найти площадь треугольника, нужно знать длины всех сторон. По теореме косинусов можно найти не известные стороны, а уже потом использовать формулу Герона.
По теореме косинусов квадрат неизвестной стороны треугольника равняется сумме квадратов остальных сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла, находящегося между ними.
${c^2}={a^2}+{b^2}-2*a*b*cos{gamma}$
Из теоремы выводим формулы для поиска длины неизвестной стороны:

$a=sqrt{ {c^2}+{b^2}-2*c*b*cos{alpha} }$
$b=sqrt{ {a^2}+{c^2}-2*a*c*cos{beta} }$
$c=sqrt{ {a^2}+{b^2}-2*a*b*cos{gamma} }$

Зная как найти недостающую сторону, имея две стороны и угол между ними можно легко посчитать площадь. Формула площади треугольника через косинус помогает легко и быстро найти решение различных задач.

Пример расчета формулы площади треугольника через косинус
Дан треугольник с известными сторонами a = 3, b = 4, и углом γ= 45°. Для начала найдем недостающую сторону с. По таблице косинусов косинус 45°=0,7. Для этого подставим данные в уравнение, выведенное из теоремы косинусов. $c=sqrt{ {3^2}+{4^2}-2*3*4*cos{45^circ} }=sqrt{ 9+16-2*3*4*0.7 }=sqrt{ 25-16.97 }=2.83$
Теперь используя формулу, найдем площадь треугольника по трем сторонам:

S=sqrt{ 4.92*(4.92-3)*(4.92-4)*(4.92-2.83) }=sqrt{4.92*3.71}=4.24

Калькулятор нахождения площади треугольника через косинус
Сторона a=	Сторона b=	Угол γ °
Ответ: Площадь треугольника = 4.243