Площадь трапеции

Трапецией называется четырехугольник, у которого только две стороны параллельны между собой.
Трапеция
Они называются основаниями фигуры, оставшиеся – боковыми сторонами. Частными случаями фигуры считается параллелограмм. Также существует криволинейная трапеция, которая включает в себя график функции. Формулы площади трапеции включают в себя практически все ее элементы, и лучшее решение подбирается в зависимости от заданных величин.
Основные роли в трапеции отводятся высоте и средней линии. Средняя линия – это линия, соединяющая середины боковых сторон. Высота трапеции проводится под прямым углом от верхнего угла к основанию.
Площадь трапеции через высоту равняется произведению полусуммы длин оснований, умноженному на высоту:

S={(a+b)}/{2}h

Если по условиям известна средняя линия, то эта формула значительно упрощается, так как она равна полусумме длин оснований m={(a+b)}/2:
S=mh

Иконка карандаша 24x24Если по условиям даны длины всех сторон, то можно рассмотреть пример расчета площади трапеции через эти данные:
S={{(a+b)}/2}sqrt{c^2-({{(b-a)^2+c^2-d^2}/{2(b-a)}})^2}
Допустим, дана трапеция с основаниями a = 3 см, b = 7 см и боковыми сторонами c = 5 см, d = 4 см. найдем площадь фигуры:
S={(3+7)}/2 sqrt{5^2-(((7-3)^2+5^2-4^2)/{2(7-3)} )^2 }=5sqrt{25-9,8}=5sqrt{15,2}=19,5 cm^2

Площадь равнобокой трапеции

Равнобокая трапеция
Отдельным случаем считается равнобокая или, как ее еще называют, равнобедренная трапеция.
Особым случаем является и нахождение площади равнобедренной (равнобокой) трапеции. Формула выводится различными способами – через диагонали, через углы, прилегающие к основанию и радиус вписанной окружности.
Если по условиям задана длина диагоналей и известен угол между ними можно использовать такую формулу:

S={{d^2}/2} sin{alpha}

Равнобедренная трапеция

Помните, что диагонали равнобокой трапеции равны между собой!

Далее рассмотрим еще один пример расчета площади равнобедренной (равнобокой) трапеции. Формула через стороны и прилегающие к основанию углы позволит легко найти площадь фигуры.

S=c*sin{alpha}(a-c*cos{alpha})
S=c*sin{alpha}(b+c*cos{alpha})
То есть, зная одно их оснований, сторону и угол, можно легко рассчитать площадь.

Площадь криволинейной трапеции

Криволинейная трапеция
Отдельный случай – это криволинейная трапеция. Она располагается на оси координат и ограничивается графиком непрерывной положительной функции.

Ее основание располагает на оси X и ограничивается двумя точками: x_1 = a;  x_2 = b
Интегралы помогают вычислить площадь криволинейной трапеции.
Формула прописывается так:
int{a}{b}{f(x)dx}

Иконка карандаша 24x24Рассмотрим пример расчета площади криволинейной трапеции. Формула требует определенных знаний для работы с определенными интегралами. Для начала разберем значение определенного интеграла:
=int{a}{b}{f(x)dx}={F(b)-F(a)}
Здесь F(a) — это значение первообразной функции f(x) в точке a, F(b)— значение этой же функции f(x) в точке b.
Криволинейная трапеция
Теперь решим задачу. На рисунке изображена криволинейная трапеция, ограниченная функцией y=f(x). Функция F(x)=-x^3-27x^2-240x-8
Нам необходимо найти площадь выделенной фигуры, которая является криволинейной трапецией, ограниченной сверху графиком y=f(x), справа прямой x={-8}, слева прямой x={-10} и осью OX снизу.
Площадь этой фигуры мы будем рассчитывать по формуле:
int{-10}{-8}{f(x)dx}=F(-8)-F(-10)
Условиями задачи нам задана функция. По ней мы найдем значения первообразной в каждой из наших точек:
F(-8)=-{(-8)}^3-27*{(-8)}^2-240*(-8)-8=24-1728+1920-8=696
F(-10)=-{(-10)}^3-27*{(-10)}^2-240*(-10)-8=1000-2700+2400-8=692
Теперь F(-8)-F(-10)=696-692=4
Ответ: площадь заданной криволинейной трапеции равняется 4.

Ничего сложного в расчетах этого значения нет. Важна только предельная внимательность в вычислениях.

Похожие записи
Поделиться
Другие статьи по теме