Площадь сектора круга - формула, пример расчета

Сектор круга – это плоская фигура, ограниченная дугой и радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

Существует две формулы площади сектора круга. Расчеты могут производиться как через длину дуги, так и через угол между радиусами. Если известна длина дуги, то применяется такая формула:

Когда дан угол между ограничивающими сектор радиусами, расчет площади представляет собой произведение площади круга на соотношение угла между радиусами к углу полной окружности, т.е. 360°.
$S={pi}r^2 {{alpha}/{360^o}}$
Рассмотрим пример расчета площади сектора круга по обеим формулам.

Пусть дан сектор, в котором l = 5 см, r = 3 см, α = 95°. Найдем площадь по всем формулам: $S={1/2}*5*3=7,5{cm}^2$
$S={3,14}*{3^2}*{{96^o}/{360^o}}={3,14}*9*{0,265}=7,48 approx 7,5{cm}^2$

Площадь сектора кольца

Сектор кольца – это плоская фигура, которая располагается в окружности и ограничивается двумя дугами разного радиуса и линиями, проведенными от центра к большей дуге.
Формула площади сектора кольца представляет собой разность площадей большего и меньшего сектора круга.

Если дан угол α, то площадь сектора кольца можно найти по следующей формуле:

$S={pi} {{alpha}/{360^o}}{(R^2-r^2)}$

Рассмотрим пример расчета площади сектора кольца.

Пусть дана окружность с радиусом 5 см. Сектор кольца ограничен углом α = 45°, а радиус меньшего сектора равен r = 3 см. Найдем площадь.
Из условий задачи мы понимаем, что больший радиус равен радиусу окружности, то есть R = 5 см. Подставим данные в формулу:
$S={3,14}*{{45^o}/{360^o}}*{(5^2-3^2)}={3,14}*{0,125}*{16}=5,14{cm}^2$

Расчет площади шарового сектора

Шаровым сектором называют часть шара, которая ограничивается кривой поверхностью шарового сегмента и конической фигурой, вершиной которой является центр шара, а основанием – шаровой сегмент.
Чтобы вывести формулу площади шарового сектора, потребуется найти высоты конуса и сегмента. Она легко вычисляется по теореме Пифагора. Для этого необходимо знать радиус шара и радиус основания конуса. Обозначим радиус шара как R, а радиус сегмента – r. Тогда
$h_segmenta=R-sqrt{R^2-r^2}$
$h_konusa=sqrt{R^2-r^2}$
Площадь сектора – это сумма площадей конуса и сегмента. Подставим выведенные формулы в общую:

$S_cek=2{pi}R{(R+{r/2}-sqrt{R^2+r^2 })}$

Рассмотрим пример расчета площади поверхности шарового сектора.

Пусть дан шар с радиусом R = 4 см, в котором выделен сектор с радиусом основания r = 1,5 см. Найдем площадь.
Подставляем все данные в формулу и производим расчеты:
$S_sektora=2*{3,14}*4{(4+{{1,5}/2}-sqrt{4^2+{1,5}^2 })}={6,28}*4{({4,75}-sqrt{16+{2,25}})}={6,28}*{1,8}=11,3{cm}^2$