Площадь параллелограмма построенного на векторах

Площадь параллелограмма, построенного на векторах, равняется произведению длин этих векторов на угол угла, который лежит между ними.

Хорошо, когда по условиям даны длины этих самых векторов. Однако бывает и так, что применить формулу площади параллелограмма, построенного на векторах можно только после расчетов по координатам.
Если повезло, и по условиям даны длины векторов, то нужно просто применить формулу, которую мы уже подробно разбирали в статье площадь параллелограмма. Площадь будет равняться произведению модулей на синус угла между ними:

S=delim{|}{a}{|}*delim{|}{b}{|}*sin{alpha}

Рассмотрим пример расчета площади параллелограмма построенного на векторах.

Задача: параллелограмм построен на векторах

. Найдите площадь, если

, а угол между ними 30°.
Выразим вектора через их значения:

(a+3b)*(3a+b)={3a}*a+a*b+{9a}*b+{3b}*b=3*0+a*b+{9a}*b+3*0={-8a}*b

Возможно, у вас возник вопрос – откуда взялись нули? Стоит вспомнить, что мы работаем с векторами, а для них

. также обратите внимание, что если в результате мы получаем выражение

,то оно будет преобразовано в

. Теперь проводим итоговые вычисления:

S=8delim{|}{a*b}{|}*sin{30}=8*1*1*{1/2}=4

Вернемся к проблеме, когда длины векторов не указаны в условиях. Если ваш параллелограмм лежит в декартовой системе координат, то потребуется сделать следующее.

Расчет длин сторон фигуры, заданной координатами

Для начала находим координаты векторов и отнимаем от координат конца соответствующие координаты начала. Допустим координаты вектора a(x1;y1;z1), а вектора b(x3;y3;z3).
Теперь находим длину каждого вектора. Для этого каждую координату необходимо возвести в квадрат, потом сложить полученные результаты и из конечного числа извлечь корень. По нашим векторам будут следующие расчеты:
$delim{|}{a}{|}=sqrt{{x1}^2+{y1}^2+{z1}^2}$
$delim{|}{b}{|}=sqrt{{x3}^2+{y3}^2+{z3}^2}$
Теперь потребуется найти скалярное произведение наших векторов. Для этого их соответствующие координаты множатся и складываются.

Имея длины векторов и их скалярное произведение, мы можем найти косинус угла, лежащего между ними .
Теперь можем найти синус этого же угла: $sin{alpha}=sqrt{1-cos{alpha}^2}$
Теперь у нас есть все необходимые величины, и мы можем запросто найти площадь параллелограмма построенного на векторах по уже известной формуле.