Объем тетраэдра - формулы, примеры расчета, калькулятор

Рассмотрим произвольный треугольник ABC и точку D, не лежащую в плоскости этого треугольника. Соединим отрезками эту точку с вершинами треугольника ABC. В результате получим треугольники ADC, CDB, ABD. Поверхность ограниченная четырьмя треугольниками ABC, ADC, CDB и ABD называется тетраэдром и обозначается DABC.
Треугольники, из которых состоит тетраэдр, называются его гранями.
Стороны данных треугольников называют ребрами тетраэдра. А их вершины – вершинами тетраэдра

Тетраэдр имеет 4 грани, 6 ребер и 4 вершины.
Два ребра, которые не имеют общей вершины, называются противоположными.
Зачастую для удобства, одну из граней тетраэдра называют основанием, а оставшиеся три грани боковыми гранями.

Таким образом, тетраэдр – это простейший многогранник, гранями которого являются четыре треугольника.

Но также верно и утверждение, что любая произвольная треугольная пирамида является тетраэдром. Тогда также верно, что тетраэдром называют пирамиду, в основании которой лежит треугольник.

Высотой тетраэдра называется отрезок, который соединяет вершину с точкой, расположенной на противоположной грани и перпендикулярный к ней.
Медианой тетраэдра называется отрезок, который соединяет вершину с точкой пересечения медиан противоположной грани.
Бимедианой тетраэдра называется отрезок, который соединяет середины скрещивающихся ребер тетраэдра.

Так как тетраэдр – это пирамида с треугольным основанием, то объем любого тетраэдра можно рассчитать по формуле

где

S – площадь любой грани,
H – высота, опущенная на эту грань

Правильный тетраэдр – частный вид тетраэдра

Тетраэдр, у которого все грани равносторонние треугольник называется правильным.
Свойства правильного тетраэдра:

Все грани равны.
Все плоские углы правильного тетраэдра равны 60°
Так как каждая его вершина является вершиной трех правильных треугольников, то сумма плоских углов при каждой вершине равна 180°
Любая вершина правильного тетраэдра проектируется в ортоцентр противоположной грани (в точку пересечения высот треугольника).

Пусть нам дан правильный тетраэдр ABCD с ребрами равными a. DH – его высота.
Произведем дополнительные построения BM – высоту треугольника ABC и DM – высоту треугольника ACD.
Высота BM равна BM и равна
Рассмотрим треугольник BDM, где DH, являющаяся высотой тетраэдра также и высота данного треугольника.
Высоту треугольника, опущенную на сторону MB можно найти, воспользовавшись формулой

$h_BM=2sqrt{p(p-BM)(p-DM)(p-BD)}/BM$ , где
BM=, DM=, BD=a,
p=1/2 (BM+BD+DM)=
Подставим эти значения в формулу высоты. Получим
$h_BM=2sqrt{1/2a( sqrt{3}+1)(1/2a( sqrt{3}+1)-a sqrt{3}/2 )(1/2a( sqrt{3}+1)-a sqrt{3}/2 )(1/2a( sqrt{3}+1)-a)}/(a sqrt{3}/2)$
Вынесем 1/2a. Получим

$2sqrt{(1/2a)^{4}( sqrt{3}+1)*1*1*( sqrt{3}-1)}/(a sqrt{3}/2)$
Применим формулу разность квадратов
$2sqrt{(1/2a)^{4}*2}/(a sqrt{3}/2)$
После небольших преобразований получим
$(2a^{2}sqrt{2}*2)/(4a sqrt{3}) = sqrt{2/3}a$

Объем любого тетраэдра можно рассчитать по формуле
,
где $S=1/2aa sqrt{3}/2= sqrt{3}/4a^{2}$ ,

Подставив эти значения, получим
$V=1/3 sqrt{3}/4a^{2}a sqrt{3}/2 =sqrt{3}/12 a^{3}$

Таким образом формула объема для правильного тетраэдра

$V=sqrt{3}/12 a^{3}$

где a –ребро тетраэдра

Вычисление объема тетраэдра, если известны координаты его вершин

Пусть нам даны координаты вершин тетраэдра

Из вершины проведем векторы $overline{A_1A_2}$ , $overline{A_1A_3}$ , $overline{A_1A_4}$ .
Для нахождения координат каждого из этих векторов вычтем из координаты конца соответствующую координату начала. Получим
$overline{A_1A_2}(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)$
$overline{A_1A_3}(x_3-x_1,y_3-y_1,z_3-z_1)$
$overline{A_1A_4}(x_4-x_1,y_4-y_1,z_4-z_1)$

Геометрических смысл смешенного произведения трех векторов заключается в следующем – смешенное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.
Так как тетраэдр есть пирамида с треугольным основанием, а объем пирамиды в шесть раз меньше объема параллелепипеда, то тогда имеет смысл следующая формула

$V= delim{|}{overline{A_1A_2},overline{A_1A_3},overline{A_1A_4}}{|}$

$delim{|}{overline{A_1A_2},overline{A_1A_3},overline{A_1A_4}}{|}=delim{|}{matrix{3}{3}{x_2-x_1 y_2-y_1 z_2-z_1 x_3-x_1 y_3-y_1 z_3-z_1 x_4-x_1 y_4-y_1 z_4-z_1}}{|}$

Для закрепления материала рассмотрим пример использования формулы объема тетраэдра.
Объем правильного тетраэдра равен 2 см³. Найдите объем правильного тетраэдра, ребро которого в 3 раза больше ребра данного тетраэдра.
Объем правильного тетраэдра вычисляется по формуле $V=sqrt{3}/12 a^{3}$
Тогда $2=sqrt{3}/12 a^{3}$
Выразим куб стороны $a^{3}=24/sqrt{3}$
Если сторону увеличить в 3 раза, что его куб увеличиться в 27 раз. Тогда
${a_1} ^{3}=24*27/sqrt{3}$ м
Найдем объем