Формула Гюйгенса для вычисления длины дуги

Очень часто на практике приходится сталкиваться с задачей нахождения длины дуги.

И при этом совершенно не ясно, какую часть окружности она занимает, то есть не известен радиус окружности. А, следовательно, не имеется возможности применить классическую формулу для нахождения длины окружности.

Для этих случаев голландский ученый Христиан Гюйгенс разработал следующий прием, позволяющий применить формулу.

Прежде всего, необходимо найти середину дуги. Для этого точки A и B, являющиеся конечными точками дуги соединим отрезком AB, который является хордой окружности. Найдем ее середину. Пусть это будет точка C. Из точки C построим перпендикуляр к хорде. Так как перпендикуляр, проведенный из середины хорды, делит дугу пополам, то точка D является серединой дуги AB.
После проведения данных построений измерим хорду AB и хорду AD, стягивающую данную дугу.
Полученные в ходе измерения значения подставим в формулу Гюйгенса, которая имеет следующий вид:

где l=AM, L=AB
Следует отметить, что процент относительной погрешности данной формулы резко падает с уменьшением угловой меры дуги. Так для дуги в 60° относительная погрешность расчетов составляет 0.5%, а уже для дуги содержащей 45° процент погрешности уменьшиться до значения 0,02.

Рассмотрим пример расчета по формуле Гюйгенса длины дуги.

Вычислите длину дуги, изображенной на рисунке, применив формулу Гюйгенса.
Пусть после измерения AM=34,0мм, а AB=67,1 мм
Так как l=AM, L=AB, то применив формулу Гюйгенса, имеем: