Радиус вписанной окружности в ромб

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны. Следовательно, он наследует все свойства параллелограмма. А именно:


Ромб с вписанной окружностью

  • Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
  • Диагонали ромба являются биссектрисами его внутренних углов.

Окружность можно вписать в четырехугольник тогда и только тогда, когда суммы противоположных сторон равны.
Следовательно, в любой ромб можно вписать окружность. Центр вписанной окружности совпадает с центром пересечения диагоналей ромба.
Радиус вписанной окружности в ромб можно выразить несколькими способами

1 способ. Радиуса вписанной окружности в ромб через высоту

Высота ромба равна диаметру вписанной окружности. Это следует из свойства прямоугольника, который образуют диаметр вписанной окружности и высота ромба – у прямоугольника противолежащие стороны равны.

Следовательно формула радиуса вписанной окружности в ромб через высоту:

r=h/2

2 способ. Радиус вписанной окружности в ромб через диагонали

Площадь ромба можно выразить через радиус вписанной окружности
S={1/2}*P*r, где Р— периметр ромба. Зная, что периметр это сумма всех сторон четырехугольника имеем P=4×а. Тогда S=2*a*r
Но площадь ромба  также равна половине произведения его диагоналей S={1/2}*{d_1}*{d_2}
Прировняв правые части формул площади, имеем следующее равенство 2*a*r = {1/2}*{d_1}*{d_2}
В результате получаем формулу, позволяющую вычислить радиус вписанной окружности в ромб чрез диагонали

r={ {{d_1}*{d_2} } / {4 * a} }
Иконка карандаша 24x24Пример расчета радиуса окружности вписанной в ромб, если известны диагонали
Найти радиус окружности вписанной в ромб, если известно, что длина диагоналей 30 см и 40 см
Пусть ABCD-ромб, тогда AC и BD его диагонали. AC=30 см, BD=40 см
Пусть точка О – это центр вписанной в ромб ABCD окружности, тогда она будет также являться и точкой пересечения его диагоналей, делящих их пополам.
AO={1/2}AC=15
BO={1/2}BD=20
т.к диагонали ромба пересекаются под прямым углом, то треугольник AOB прямоугольный. Тогда по теореме Пифагора
{AB}^2={AO}^2+{BO}^2, подставляем в формулу ранее полученные значения
{AB}^2={15^2+20^2}=625
AB = 25 см
Применив ранее выведенную формулу для радиуса описанной окружности в ромб, получаем
r={ {30*40} / {4*25} = 12}

3 способ. Радиус вписанной окружности в ромб через отрезки m и n

Ромб с вписанной окружностью

Точка F — точка касания окружности со стороной ромба, которая делит ее на отрезки AF и BF. Пусть AF=m, BF=n.
Точка O – центр пересечения диагоналей ромба и центр вписанной в него окружности.
Треугольник AOB – прямоугольный, так как диагонали ромба пересекаются под прямым углом.
OF ortho AB, т.к. является радиусом, проведенным в точку касания окружности . Следовательно OF – высота треугольника AOB к гипотенузе. Тогда AF и BF – проекции катетов на гипотенузу.
Высота в прямоугольном треугольнике, опущенная на гипотенузу есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу.
OF=sqrt{AF+BF}
Формула радиуса вписанной окружности в ромб через отрезки равна корню квадратному из произведения этих отрезков, на которые делит сторону ромба точка касания окружности

r=sqrt{n*m}
Иконка карандаша 24x24Пример расчета радиуса окружности вписанной в ромб, если известны отрезки m и n
Найдите радиус описанной окружности в ромб, если точка касания делит сторону ромба на 9 и 4
Пусть ABCD-ромб, тогда AC и BD его диагонали.
Пусть точка O – это центр вписанной в ромб ABCD окружности.
Пусть точка F — точка касания окружности со стороной ромбаAB. Тогда. AF=9, BF=4
Применив ранее полученную формулу, получаем
r=sqrt{9*4}=sqrt{36}=6

Похожие записи
Поделиться
Другие статьи по теме