Площадь поверхности конуса

Пусть α— плоскость, точка S— точка, не лежащая в этой плоскости. Возьмем на плоскости произвольный круг с радиусом R. Соединим произвольную точку A этого круга с точкой S отрезком AS. Если точка А будет описывать круг с радиусом R, то отрезки AS будут заполнять некоторое тело. Это тело называют круговым конусом.
Конус
Границей конуса является круг радиуса R и боковая поверхность конуса.
Боковую поверхность описывает отрезок AS , когда точка A описывает круг.
Точка S является вершиной конуса. Множество отрезков AS, соединяющих вершину с окружностью основания являются направляющими конуса.Если перпендикуляр, опущенный из точки S, совпадает с центром основания, то конус называется прямым.Очень часто говорят, что прямой конус образуется в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг оси, содержащий его катет.
На данном рисунке прямой конус получился в результате вращения прямоугольного треугольника AOS вокруг катета SO. Тогда говорят, что

  • Катет SO –это высота конуса;
  • Гипотенуза AS –образующая конуса;
  • Катет AO – радиус конуса.

Площадь боковой поверхности конуса через его радиус и направляющую

Пусть дан конус с радиусом R и образующей L
AS=L, AO=R
развертка конуса
Разрежем конус по образующей L и развернем его боковую поверхность.
В результате получим криволинейный треугольник ASA` , где AS=L, A`S=L.
Дуга AA` -это вытянутая окружность основания конуса с радиусом R. Следовательно, длина дуги AA` будет равна 2πR
Площадь боковой поверхности будет равна площади сектора круга с радиусом R.
Если угол α — радиальная мера угла, то: S=L^2 {{alpha}/2}={AS}{{alpha}/2}
где α=∠{ASA`}
Чтобы найти угол ∠{ASA`} воспользуемся формулой длины дуги, которая стягивает данный угол: P=AS{alpha}
Но с другой стороны: P=2{pi}R
Приравняем правые части равенств. Имеем: AS{alpha}=2{pi}R
Выразим α: {alpha}={2{pi}R}/AS={2{pi}R}/L
Подставим полученное выражение в формулу площади сектора: S=L^2*{{alpha}/2}=L^2*{{2{pi}R}/{2L}}={pi}RL
Следовательно, боковая поверхность конуса равна произведению числа π на радиус конуса и его образующую.
Формула боковой поверхности конуса будет иметь следующий вид:
S={pi}RL

Иконка карандаша 24x24Пример расчета площади боковой поверхности конуса, если известны его радиус и направляющая
Найти площадь боковой поверхности конуса с радиусом равным 3 см, образованным направляющей равной 7 см
По условию задачи L = 5см, R=3см
Формула боковой поверхности конуса:
S={pi}RL
Подставив в формулу значения из условия задачи, имеем:
S={pi}*3*7=21{pi}

Площадь боковой поверхности конуса через его радиус и высоту

Очень часто в задачах на вычисление площади боковой поверхности конуса известна высота конуса вместо его направляющей.
Так как конус прямой, то треугольник AOS — прямоугольный, где AO и OS – катеты, а AS –гипотенуза. Воспользовавшись теоремой Пифагора, получаем: {AS}^2={AO}^2+{OS}^2
Отсюда: AS=sqrt{{AO}^2+{OS}^2}
Но AS=L, AO=R, OS=H
Тогда:L=sqrt{R^2+H^2}
Подставим данное выражение в формулу площади боковой поверхности конуса: S={pi}R sqrt{R^2+H^2}
Боковая поверхность конуса равна произведению числа на радиус конуса и корень квадратный из суммы квадратов радиуса и высоты конуса

Иконка карандаша 24x24Пример расчета площади боковой поверхности конуса, если известны его радиус и высота.
Найти площадь боковой поверхности конуса с радиусом равным 1 см и высотой, равной 5 см
По условию задачи Н = 5см, R=1см
Формула боковой поверхности конуса:
S={pi}R sqrt{R^2+H^2}
Подставив в формулу значения из условия задачи, имеем:
S={pi}*1*sqrt{1^2+5^2}={pi} sqrt{25}=5{pi}

Полная поверхность конуса

Полная поверхность конуса — это сумма площади его боковой поверхности и площади основания конуса:

S_poln=S_bok+S_osn

Основанием конуса является круг с радиусом R. Его площадь равна произведению числа π на квадрат его радиуса: S_osn={pi}R^2
Площадь боковой поверхности вычисляется по формуле: S_bok={pi}RL или S_bok={pi}R sqrt{R^2+H^2}
Тогда площадь полной поверхности конуса равна: S_poln={pi}RL+{pi}R^2={pi}R(L+R)
или S_poln={pi}Rsqrt{R^2+H^2}+{pi} R^2={pi}R(sqrt{R^2+H^2}+R)
Таким образом, площадь полной поверхности конуса равна произведению числа {pi} на радиус конуса и сумму направляющей и радиуса.
Формула имеет следующий вид: S_poln={pi}R(L+R)
Площадь полной поверхности конуса равна произведению числа π на радиус конуса и сумму корня квадратного из суммы квадратов радиуса и высоты конуса и радиуса конуса.
Формула имеет следующий вид: S_poln={pi}R(sqrt{R^2+H^2}+R)

Похожие записи
Поделиться
Другие статьи по теме