Объема усеченного конуса

При нахождении объема усеченного конуса целесообразней рассматривать разность объема полного конуса и объема отсеченного конуса.
Усеченный конус
Дополним данный усеченный конус до полного . Пусть его высота будет x . Если высота усеченного конуса – h , то высота отсеченного конуса будет – x-h .
Высота усеченного конуса будет равна разности объема полного конуса с радиусом R1и высотой x и объема полного конуса с радиусом R2. и высотой x-h.
Из подобия этих конусов получаем:
x/{x-h}=R_1/R_2
Выразим x:
xR_2=xR_1-hR_1
x(R_1-R_1)=hR_1
x={hR_1}/{R_1-R_2}
Тогда объем усеченного конуса можно выразить:
V={1/3}{pi}{x}{R_1}^2-{1/3}{pi}(x-h){R_2}^2 = {1/3}{pi}({hR_1}/{R_1-R_2} {R_1}^2-{hR_1}/{R_1-R_2}{R_2}^2+h{R_2}^2) =
={1/3}{pi} {h{R_1}^3-hR_1{R_2}^2+h{R_2}^2R_1-h{R_2}^3}/{R_1-R_2} ={1/3}{pi}h {{R_1}^3-{R_2}^3}/{R_1-R_2 }
Применив формулу разницы кубов, имеем:
V=1/3 {pi}h {{{R_1}^3-{R_2}^3}/{R_1-R_2}}=1/3 {pi}h {{(R_1-R_2 )({R_1}^2+R_1 R_2+{R_2}^2)}/{R_1-R_2}}=
=1/3 {pi}h({R_1}^2+R_1 R_2+{R_2}^2)
Таким образом, формула объема усеченной пирамиды имеет вид:

V=1/3 {pi}h({R_1}^2+R_1 R_2+{R_2}^2)
Иконка карандаша 24x24Пример расчета объема усеченного конуса
Радиусы основания усеченного конуса равны 11 и 27 , образующая относиться к высоте как 17:15 . Найдите объем усеченного конуса.
Объем усеченного конуса вычисляется по формуле:
V=1/3 {pi}h({R_1}^2+R_1 R_2+{R_2}^2)
Для того, чтобы воспользоваться данной формулой необходимо найти высоту конуса. Образующая конуса, его высота и разница радиусов оснований образуют прямоугольный треугольник. Воспользовавшись теоремой Пифагора получаем: L^2=H^2+{(R_1-R_2)}^2
Так как образующая относиться к высоте как 17:15, то L=17x, H=15x.
Тогда: 289x^2=225x^2+{(27-11)}^2
64x^2=256
x=4
Тогда высота усеченного конуса будет равна:
H=15*4=60
Подставим значения в формулу объема усеченного конуса. Получим:
V=1/3 {pi}60({27}^2+27*11+{11}^2 )=20{pi}(729+297+121)=22940{pi}

Похожие записи
Поделиться
Другие статьи по теме